Distanco

distanco - Wikilingue - Encydia

La distanco esprimas la proksimecon aŭ malproksimon inter du celoj, aŭ la intertempo de tempo kiu pasas inter du okazaĵoj. Ĝi ankaŭ uzas kiel esprimo por indiki rilaton de malproksimigo afectivo inter du personoj: la desafecto.

Ebena de Manhattan. La distanco euclidiana (segmentas verdon), ĝi ne respondas kun la «plej mallonga vojo» estaĵo du punktoj de koncerna urbo, krom ne esti sola.

La plej malgranda distanco inter du punktoj trairita sur la surfaco de sfero estas arko de maksimuma rondo: la ortodrómica.

En matematiko, la distanco inter du punktoj de la spaco euclídeo samvaloras al la longitudo de la segmento de rekta kiu ilin kunigas, esprimita numéricamente. En spacoj pli kompleksaj, kiel la difinitaj en la geometrio ne euclidiana, la «plej mallonga vojo» inter du punktoj estas segmento de kurbo.

En fiziko, la distanco estas skalara grando, kiu esprimas en unuecoj de longitudo aŭ tempo.

Enhavo

1 Distanco en geometrio
2 Formala difino
- 2.1 Distanco de punkto al aro
- 2.2 Distanco inter du aroj
3 Vidu ankaŭ

Distanco en geometrio

ĝi nomas distancon euclídea inter du punktoj $A(x_1, y_1)$ kaj $B(x_2, y_2 )$ de la ebena al la longitudo de la segmento de rekta kiu havas por ekstremaj $A$ kaj $B$ . Ĝi povas kalkuli tiel:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

La distanco inter punkto $P$ kaj rekto $R$ estas la longitudo de la segmento de rekta kiu estas perpendicular al la rekto $R: Ax + By + C = 0$ kaj ĝi kunigas ŝin al la punkto $P(x_1, y_1)$ . Ĝi povas kalkuli tiel:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Kie |·| denota absoluta valoro.

La distanco inter du paralelaj rektoj estas la longitudo de la segmento de rekta perpendicular al ambaŭ kiu ilin kunigas.

La distanco inter punkto $P$ kaj ebena $L$ estas la longitudo de la segmento de rekta perpendicular al la ebena $L : Ax + By + Cz + D = 0$ kiu lin kunigas al la punkto P (x₁,kaj₁,z₁) kaj ĝi povas kalkuli tiel:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Formala difino

De formala vidpunkto, por aro de elementoj $X$ difinas distancon aŭ metrikon kiel ajna binara funkcio $d(a,b)$ de $X \times X$ ke $\mathbb{R}$ kontrolas la sekvajn kondiĉojn:

Ne negatividad: $d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X$
Simetría: $d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X$
Triangula neegaleco: $d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X$
$\forall x \in X : d(x,x)=0$ .
Se $x,y \in X$ estas tiaj kiu $d(x,y)=0$ , tiam $x=y$ .

Se ni ĉesas postuli ke ĝi plenumas ĉi tiun lastan kondiĉon, al la koncepto resultante oni nomas lin pseudodistancia aŭ pseudométrica.

La distanco estas la fundamenta koncepto de la Topología de Spacoj Métricos. Spaco métrico ne estas alia aĵo kiu paro $(X,d)$ , kie $X$ estas aro en kiu difinas distancon $d$ .

En la kazo kiun havis paro $(X,d)$ kaj $d$ ekstere pseudodistancia sur $X$ , ni tiam dirus ke havas spacon pseudométrico.

Se $(X,d)$ estas spaco métrico kaj $E \subset X$ , ni povas restrikti $d$ al $E$ de la sekva formo: $d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}$ tiel ke se $x,y \in E$ tiam $d'(x,y)=d(x,y)$ (tio estas, $d'=d|_{E \times E}$ ). La apliko $d'$ estas ankaŭ distanco sur $d$ , kaj kiel ĝi dividas sur $E \times E$ la samaj valoroj kiuj $d$ , denota ankaŭ de la sama maniero, tio estas, ni diros ke $(E,d)$ estas subespacio métrico de $(X,d)$ .

Distanco de punkto al aro

Se $(X,d)$ estas spaco métrico, $E \subset X$ , $E \ne \varnothing$ kaj $x \in X$ , ni povas difini la distancon de la punkto $x$ al la aro $E$ de la sekva maniero: $d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}$ .

Estas de elstari la sekvaj tri aĵoj:

En unua loko, en la kondiĉoj donitaj, ĉiam ekzistos tiu distanco, ĉar $d$ ĝi havas por regado $X \times X$ , tuj kiam por ajna $y \in E$ ekzistos sola pozitiva reala valoro $d(x,y)$ . Por la completitud de $\mathbb{R}$ kaj kiel la bildo de d estas acotada malsupere por 0, ĝi restas garantiita la ekzisto de la ínfimo de tiu aro, ĉi tio estas, la distanco de la punkto al la aro.

Se $x \in E$ tiam $d(x,E)=0$ .

Ĝi eblas ke $d(x,E)=0$ sed $x \notin E$ , ekzemple se $x$ estas punkto de adherencia de $E$ . Fakte, la clausura de $E$ estas ĝuste la aro de la punktoj kiuj havas distancon 0 al $E$ .

La kazoj de distanco de punkto al rekto aŭ de distanco de punkto al ebena ne estas pli ol apartaj kazoj de la distanco de punkto al aro, ĝi kiam konsideras la distancon euclídea.

Distanco inter du aroj

Se $(X,d)$ estas spaco métrico, $A \subset X$ kaj $B \subset X$ , $A \ne \varnothing$ , $B \ne \varnothing$ , ni povas difini la distancon inter la aroj $A$ kaj $B$ de la sekva maniero: $d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}$ .

Por la sama kialo kiu antaŭe, ĉiam estas difinita. Krome $d(A,A)=0$ , sed povas okazi ke $d(A,B)=0$ kaj tamen $A \ne B$ . Estas pli, ni povas havi du fermitajn arojn kies distanco estas 0 kaj tamen estas disjuntos, kaj inkluzive ol havu clausuras disjuntas. Ekzemple, la aro $A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$ kaj la aro $B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}$ . Unuflanke, $A=cl(A)$ , $B=cl(B)$ kaj $A \cap B = \varnothing$ , kaj por $d(A,B)=0$ alia .

La distanco inter du rektoj, la distanco inter du ebenaj, ktp. Ne estas pli ol apartaj kazoj de la distanco inter du aroj kiam konsideras la distancon euclídea.