Ekvacio de dua grado

De Vikipedio, la libera enciklopedio

La komunaj punktoj de parabolo kun la 10a akso (rekta kaj=aŭ), se ilin estis, estas la realaj solvoj de la ekvacio cuadrática.

Ekvacio de dua grado aŭ ekvacio cuadrática estas ekvacio polinómica kie la plej granda eksponento estas egala al du. Kutime, la esprimo raportas al la kazo kiu nur aperas ŝanĝiĝeman misteron kaj kiu esprimas en la kanona formo:

$ax^2 + bx + c = 0\,$

Kie al estas la koeficiento cuadrático aŭ de dua grado kaj estas ĉiam malsama de 0, b la koeficiento lineal aŭ de unua grado kaj c estas la sendependa termino.

Esprimita de la plej ĝenerala modo, ekvacio cuadrática en $x^n\,$ estas de la formo:

$ax^{2n}+bx^n+c=0 \,$

Kun n natura numero kaj al malsama de nulo. La aparta kazo de ĉi tiu ekvacio kie n = 2 konas kiel ekvacio bicuadrática.

La ekvacio cuadrática estas de granda graveco en matematikoj aplikitaj, fizika kaj inĝenierio, pro tio ke ĝi aplikas tre ofte en la rezolucio de problemoj.

Enhavo

1 Historio
2 Klasifiko
3 Ĝenerala solvo de la ekvacio de dua grado
- 3.1 Depreno de la ĝenerala formulo
- 3.2 Teoremo de Cardano-Viète
4 Solvo per ŝanĝo de variablo
5 Vidu ankaŭ
6 Eksteraj ligoj

Historio

La ekvacio de dua grado kaj la solvo havas malnovan originon. ili konis algoritmojn por solvi ŝin en Babilono kaj Egiptio.

En Grekio estis disvolvita de la matematikisto Diofanto de Alejandría.

La solvo de la ekvacioj de dua grado estis enkondukita en Eŭropo por la matematika judeoespañol Abraham trinkejo Hiyya, en lia Liber embadorum.

Klasifiko

La ekvacio de dua grado klasifikas de la sekva maniero:

1.- Kompleta: ĝi Havas la kanonan formon:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

Kie la tri koeficientoj al, b kaj c estas malsamaj de nulo.

Ĉi tiu ekvacio akceptas tri eblojn por la solvoj: du realaj kaj malsamaj numeroj, du realaj kaj egalaj numeroj (duobla reala numero), aŭ du kompleksaj numeroj konjugaciitaj, dependante de la valoro kiu prenas la discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

jam estas pozitiva, nulo aŭ negativa, respektive.

ili solvas por factorización, por la metodo de kompletigi la kvadraton aŭ por ĝenerala formulo.

La ĝenerala formulo deduktas poste.

2.- Nekompleta pura: Estas de la formo:

$ax^2 + c = 0 \,$

Kie la valoroj de al kaj de c estas malsamaj de nulo. ĝi solvas liberigante x kun inversaj operacioj kaj lia solvo estas du realaj radikoj kiuj diferencas en la signo se la valoroj de al kaj c havas kontraŭan signon aŭ bone du numeroj imaginarios puraj kiu diferencas en la signo se la valoroj de al kaj c havas la saman signon. Ekvacio cuadrática nekompleta de la formo:

$ax^2 = 0 \,$

Kun al malsama de nulo, tre malofta fojo aperas en la praktiko kaj lia sola solvo de multiplicidad du estas, por supozita, x = 0

3.- Nekompleta miksita: Estas de la formo:

$ax^2 + bx = 0 \,$

Kie la valoroj de al kaj de b estas malsamaj de nulo. ĝi solvas por factorización de x kaj ĝi ĉiam havas la banalan solvon x1 = 0. Ĝi ne havas solvon en kompleksaj numeroj.

Ĝenerala solvo de la ekvacio de dua grado

La kompleta ekvacio de dua grado havas ĉiam du solvoj, ne nepre malsamaj, nomita radikoj, kiu eblas realaj aŭ kompleksaj, donitaj de la ĝenerala formulo:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x = \Frako{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2al}

Kie la simbolo "±" hinda kiu la du valoroj

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x_1 = \Frako{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2al}

kaj

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): \ x_2 = \frako{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2al}

Estas solvoj. Estas Interese Observi kiu ĉi tiu formulo havas la ses raciajn operaciojn de la elementa algebro.

Se ni observas la discriminante (la esprimo ene de la kvadrata radiko):

$b^2 - 4ac \,$

Ni povos scii la numeron kaj naturo de la solvoj:

Du realaj kaj malsamaj solvoj se la discriminante estas pozitiva (la parabolo transiras du fojojn la akso x);
duobla reala solvo, alivorte, de multiplicidad du, se la discriminante estas nulo (la parabolo nur tuŝas en punkto al la akso x);
Du kompleksaj numeroj konjugaciitaj se la discriminante estas negativa (la parabolo kaj la akso x ne transiras).

Depreno de la ĝenerala formulo

Rilatigante la ekvacio de dua grado kun polinomo de dua grado kaj la radikoj de la sama (siavice radikoj de funkcio cuadrática), ni povas solvi la ekvacion algebraicamente kaj akiri la formulon de koncerna ekvacio.

Estas donita la ekvacio:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

Kie $al \neq 0$ por garantii ke estas vere ekvacio polinómica de dua grado.

Kiel al estas malsama de nulo, ni povas dividi eniru al ĉiun terminon de la ekvacio:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x^2 + \Frako{b}{al}x + \frako{c}{al} = 0

Ni restas la valoron de la sendependa termino en ambaŭ membroj de la egaleco:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x^2 + \Frako{b}{al}x = - \frako{c}{al}

Por kompletigi la trinomio kvadrata perfekta (TCP), aŭ pli brevemente, por kompletigi la kvadraton en la maldekstra membro, ĝi adicias la kvadraton de la duono de la koeficiento lineal, tial ni adicias malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): \left(\frako{b}{2al} \right)^2

en ambaŭ membroj de la ekvacio:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x^2 + \Frako{b}{al}x + \left(\frako{b}{2al} \right)^2 = \left(\frako{b}{2al} \right)^2 - \frako{c}{al}

Factorizamos La TCP de la maldekstra flanko kaj ni faras la operacion indikita de la rajto:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): \left(x + \Frako{b}{2al} \right)^2 = \frako{b^2}{4al^2} - \frako{c}{al}

Ni faras la operacion kun frakcioj en la dekstra membro:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): \left(x + \Frako{b}{2al} \right )^2 = \frako{b^2-4ac}{4al^2}

Ni ĉerpas raiz kvadrata en ambaŭ membroj:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x + \Frako{b}{2al} = \pm \sqrt { \frako{b^2-4ac}{4al^2} }

Ni disigas la radikojn de la frakcio de la dekstra flanko:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x + \Frako{b}{2al} = \pm \frako { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{(2al)^2} }

Simplificamos La radikalulo de la denominatoro de la dekstra membro:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x + \Frako{b}{2al} = \pm \frako { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al }

Ni liberigas la misteron kiu serĉas:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x = - \Frako{b}{2al} \pm \frako { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al }

Ni kombinas la frakciojn kun la sama denominatoro de la dekstra flanko kaj ni akiras la ĝeneralan formulon:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x = \Frako{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al }

Estas banala la ordo kiun prenas la valoroj de x; iuj aŭtoroj preferas meti en unua termino la plej malgranda valoro de x, tio estas, tiu en kiu iras la negativan signon antaŭ la radikalulo. Antaŭ apliki indiscriminadamente la ĝenerala formulo en la solvo de ekvacioj de dua apartaj grado, ĝi sugestas solvi ĉiun ekvacion uzante ĉiuj paŝoj de la depreno ĉiufoje por havi regadon de la metodo de kompletigi la kvadraton.

Teoremo de Cardano-Viète

Por ĉiu ekvacio cuadrática de la formo:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

de radikoj $x_1 , x_2 \,$ plenumas la sekvaj du aspektoj:

ĝi Adicias de radikoj: malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 + x_2 = - \frako{ b }{ al } \,

Pruvo:

Dividante de la uzo de la formulo resolvente

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 + x_2 = \frako{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al } + \frako{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al } \,

Adicias la numeratorojn, por tio la radikoj malaperas al la esti kontraŭstaritaj

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 + x_2 = \frako{-2 b }{ 2al } \,

Simplificando nin restas

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 + x_2 = - \frako{ b }{ al } \,

Produkto de radikoj: malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{c}{al} \,

Pruvo:

Dividante de la uzo de la formulo resolvente

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al } \cdot \frako{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2al } \,

Realigante la multiplicación, pere de la produkto de binomoj konjugaciitaj en la numeratoro:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2 }{ (2 al)^2 } \,

Solvante la potencoj nin restas:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{b^2 - (b^2 - 4ac) }{ 4 al^2 } \,

Distribuas la la malpli da kaj mi adicias en la numeratoro

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{ 4ac }{ 4 al^2 } \,

Simplificando nin restas:

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): x_1 \cdot x_2 = \frako{ c }{ al } \,

Krome povas uzi la identecon de Legendre por akiri la diferencon de radikoj.

$(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \,$

Solvo per ŝanĝo de variablo

simpla maniero de solvi ekvacion de dua grado (kaj ankaŭ de tria kaj kvara grado) estas apliki ŝanĝon de variablo. En la kazo de la ekvacio de dua grado de la tipo $al x^2 + b x + c = 0 \,$ , la ŝanĝo de necesa variablo estas de la tipo $x = t + n \,$ .

Aplikante la ŝanĝo de antaŭa variablo, ni akiras la ekvacion $al (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$

Kaj disvolvante ŝin restu $al t^2 + (2 al n + b) t + al n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).

Ni nun devas redukti la ekvacion akirita al konita kazo kiun ni scias solvi. Estas evidenta kiu la ekvacioj de dua grado de la tipo $x^2 = K \,$ solvas de rekta formo ĉerpante la kvadrata radiko de ambaŭ terminoj kaj kies ĝenerala solvo estas de la tipo $x = \pm \sqrt {K} \,$ .

Por povi transformi nian ekvacion (1) en ekvacio kun la termino de unua egala grado al nulo, ni devas peli ke $2 al n + b = 0 \,$ , tio estas malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): n = -\frako {b} {2 al} \,

Anstataŭante en (1) restas malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): al t^2 -\frako {b^2} {4 al} + c =0 \, . (2)

Ĉi tiu nova ekvacio estas en la formo $t^2 = K \,$ kiu estis kion ni pretendis sukcesi kun la ŝanĝo de variablo, kaj kiu, kiel ĝi jam diris, ĝi havas tujan solvon de la tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$

Sekve, liberigante la variablo $t \,$ en la ekvacio (2), ĝi restas malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): t = \pm \frako { \sqrt {b^2 - 4 al c}} {2 al}

Pro tio ke $x = t + n \,$ , kaj kiu malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\frako): n = -\frako {b} {2 al} \, , ni akiras la solvon de la originala ekvacio kun variablo en $x \,$ , kiu estas

malsukcesis analizi formulon (nekonata funkcio\Frako): x = -\Frako {b} {2 al} \ \pm \frako {\sqrt {b^2 - 4 al c}} {2 al}

La artifiko de ĉi tiu pruvo, ĝi konsistas, sekve, en apliki ŝanĝon de ŝanĝiĝema kiu reduktas la ekvacion de dua ĝenerala grado al alia pli simpla ekvacio kaj de tuja solvo.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligoj

Wikilibros

Wikilibros gastigas libro aŭ manlibro sur Ekvacio cuadrática.
forĵetas.cnice.mec.Estas/materialoj_didacticos/Ecuacion_de_dua_grado/index.htm La ekvacio de dua grado, en forĵetas.cnice.mec.Estasdonas:Andengradspolynomiumestas:משוואה ממעלה שנייהiru:Persamaan kuadratsimpla:Quadratic equations-ro:Квадратна једначинаmi vidis:Phương trình bậc hai

Elŝutita el "http://eo.encydia.com/es/Ekvacio_de_dua_grado"

Kategorioj: Elementa Algebro | Realaj Funkcioj