Numero π

numero π - Wikilingue - Encydia

π (Pi) estas la rilato inter la longitudo de circunferencia kaj lia diametro, en geometrio euclidiana. Estas neracia numero kaj unu el la konstantaj matematikoj pli gravaj. ĝi uzas ofte en matematikoj, fizika kaj inĝenierio. La nombra valoro de π, detranĉita al liaj unuaj ciferoj, estas la sekva:

$\pi \approx 3{,}14159265358979323846...$

La valoro de π akiris kun diversaj alproksimiĝoj laŭlonge de la historio, estante unu el la konstantaj matematikaj kiu pli aperas en la ekvacioj de la fiziko, kune kun la numero kaj. Por tio, eble estas la konstanta kiu pli pasioj deĉenigas inter la profesiaj matematikistoj kaj ŝatantoj. La rilato inter la circunferencia kaj lia diametro ne estas konstanta en geometrioj ne euclídeas.

$\pi$ Estas la rilato inter la longitudo de circunferencia kaj lia diametro. Estas konstanta en geometrio euclidiana.

Lerta de numeroj – neraciaj Numeroj ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – kaj – π – δ
Binara	11,00100100001111110110…
Decimala	3,14159265358979323846…
Deksesuma	3,243F6Al8885Al308D31319…
Kontinua frakcio	$3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}$ Rimarku kiu la kontinua frakcio ne estas periódica.

Enhavo

1 La nomo π
2 Historio de la ŝtono de la valoro π
3 Matematikaj karakterizaĵoj
4 Formuloj kiuj enhavas la numeron π
5 Cómputos de π
6 Geometriaj alproksimiĝoj al π
- 6.1 Metodo de Kochanski
- 6.2 Metodo de Mascheroni
7 Uzo en matematikoj kaj scienco
8 Vidindaĵoj
9 Demandoj malfermitaj troas π
10 Referencoj
11 Vidu ankaŭ
12 Eksteraj ligoj

La nomo π

Greka litero pi. Simbolo adoptita en 1706 por William Jones kaj popularigita de Leonhard Euler.

La notacio kun la greka litero π venas de la komenca de la vortoj de greka origino "περιφέρεια" (periferio) kaj "περίμετρον" (perimetro) de rondo,^[1] notacio kiu estis uzita unue de William Oughtred (1574-1660), kaj proponita lia uzo por la matematikisto galés William^{Jones [2]} (1675-1749), kvankam estis la matematikisto Leonhard Euler, kun lia verko «Enkonduko al la ŝtono infinitesimal» de 1748, kiu ŝin popularigis. Estis konita antaŭe kiel konstanta de Ludolph (en honoro al la matematikisto Ludolph iras Ceulen) aŭ kiel konstanta de Arquímedes (kiu ne devas konfuzi kun la numero de Arquímedes).

Historio de la ŝtono de la valoro π

La serĉo de la plej granda numero de decimalaj de la numero π supozis konstantan penadon de multnombraj scienculoj laŭlonge de la historio. Iuj historiaj alproksimiĝoj de π sono la sekvaj.

Malnova Egiptio

Detalo de la papiruso Rhind.

La proksimuma valoro de π en la malnovaj kulturoj superas al la epoko de la skribas egipta Ahmes en la jaro 1800 a.K. , priskribita en la papiruso Rhind,^[3] kie uzas proksimuman valoron de π asertante ke: la areo de rondo estas simila al la de kvadrato, kies flanko estas egala al la diametro de la rondo malpliigita en 1/9, tio estas, egala al 8/9 de la diametro. En moderna notacio:

$S = \pi r^2 \simeq \left( \frac{8}{9} \cdot d \right)^2 = \frac{64}{81} d^2 = \frac{64}{81} \left(4 r^2\right)$

$\pi \simeq \frac{256}{81} = 3{,}16049 \ldots$

Inter la ok matematikaj dokumentoj trovitaj de la malnova egipta kulturo, en du parolas pri rondojn. Oni estas la papiruso Rhind kaj la alia estas la papiruso de Moskvo. Nur en la unua lingvo de la proksimuma valoro de la numero π. La investigador Otto Neugebauer, en aneksas de lia libro The Exact Sciences in Antiquity,^[4] priskribas metodon inspirita en la problemoj de la papiruso de Ahmes por elŝeligi la valoron de π, per la alproksimiĝo de la areo de kvadrato de flanko 8, al la de rondo de diametro 9.

Mezopotamio

Iuj mezopotamiaj matematikistoj uzis, en la ŝtono de segmentoj, valoroj de π egala al 3, atingante en iuj kazoj taksas pli proksimumaj, kiel la de 3 + 1/8.

Bibliaj referencoj

Unu el la nerektaj referencoj pli malnovaj de la proksimuma valoro de π povas trovi en versículo de la Biblio:

«Ĝi faris fandi same maro de dek kubutoj de flanko al la alia, perfekte ronda. Ĝi havis kvin kubutojn de alteco kaj al lia ĉirkaŭe ŝulaĉo de tridek kubutoj.»

1aj Reĝoj 7:23 (Reĝino-Valera 1995)

Oni citas simila povas trovi en 2a Kronikaj 4:2. En li aperas en lerta de asignoj por la konstruo de la Granda Templo de Salomón, konstruita sur la 950 a.K. Ambaŭ citas donas 3 kiel valoro de π kion supozas konsiderinda perdo de precizeco koncerne al la antaŭaj egipta korinklinoj kaj mezopotamia.

Metodo de Arquímedes por trovi du valorojn kiuj proksimigas al la numero π, por troo kaj difekto.

Metodo de alproksimiĝo de Liu Hui.

Klasika antikva tempo

La greka matematikisto Arquímedes (3a jarcento a.K. ) estis kapabla de determini la valoron de π, inter la komprenita intertempo por 3 10/71, kiel minimuma valoro, kaj 3 1/7, kiel maksimuma valoro. Kun ĉi tiu alproksimiĝo de Arquímedes akiras valoron kun eraro kiu oscilas inter 0,024% kaj 0,040% sur la reala valoro. La uzita metodo por Arquímedes^[5] estis tre simpla kaj ĝi konsistis en ĉirkaŭlimigi kaj enskribi regulajn plurangulojn de n-flankoj en circunferencias kaj kalkuli la perimetron de koncernaj pluranguloj. Arquímedes komencis kun hexágonos ĉirkaŭlimigitaj kaj enskribitaj, kaj estis dublante la numero de flankoj ĝis alveni al pluranguloj de 96 flankoj.

Ĉirkaŭ la jaro 20 p.K., la arkitekto kaj roma inĝeniero Vitruvio kalkulas π kiel la valoro fraccionario 25/8 mezurante la distanco trairita en revolucio por rado de konata diametro.

En la 2a jarcento, Klaŭdo Ptolomeo havigas valoron fraccionario por alproksimiĝoj:

$\pi \simeq \frac{377}{120} = 3{,}1416 \ldots$

Matematika china

La ŝtono de pi estis altiro por la spertaj matematikistoj de ĉiuj kulturoj. Al 120, la ĉina astrologo Chang Hong (78-139) estis unu el la unuaj en uzi la alproksimiĝon $\sqrt {10}$ , kiu deduktis de la kialo inter la volumo de rubujo kaj la respektiva sfero enskribita. Jarcento poste, la astronomo Wang Fang lin estimis en 142/45 (3,155555), kvankam ĝi ne konas la metodon uzita.^[6] Malmultaj jaroj poste, al 263, la matematikisto Liu Hui estis la unua en sugesti^[7] kiu 3,14 estis bona alproksimiĝo, uzante plurangulo de 96^[8] aŭ 192^[6] flankoj. Ĝi poste estimis π kiel 3,14159 uzante plurangulo de 3.072 flankoj.^[8]^[9]

Fine de la 5a jarcento, la matematikisto kaj ĉina astronomo Zu Chongzhi kalkulis la valoron de π en 3,1415926 al la kiu nomis «valoron implicite» kaj 3,1415927 «valoro por troo», kaj ĝi donis du raciajn alproksimiĝojn de π: 22/7 kaj 355/113 tre konitaj ambaŭ,^[10] estante la lasta alproksimiĝo tiel bona kaj preciza kiu ne estis egalita ĝis pli ol naŭ jarcentoj poste, en la 15a jarcento.^[8]

Matematika india

Uzante plurangulo reguligi enskribita de 384 flankoj, fine de la 5a jarcento la india matematikisto Aryabhata estimis la valoron en 3,1416. Meze de la 7a jarcento, estimante malĝusta la alproksimiĝo de Aryabhata, Brahmagupta kalkulas π kiel $\sqrt {10}$ , ŝtono multe malpli preciza ol la de lia antaŭulo. Al 1400 Madhava akiras ĝustan alproksimiĝon ĝis 11 ciferoj (3,14159265359), estante la unua en uzi seriojn por realigi la korinklinon.^[6]

Islama matematiko

En la 9a jarcento Al la-Jwarizmi en lia "Algebro" (Hisab al la yabr ua al la muqabala) faras rimarki ke la oportuna viro uzas 22/7 kiel valoro de π, la geómetra uzas 3, kaj la astronomo 3,1416. En la 15a jarcento, la persa matematikisto Ghiyath al la-Kashi estis kapabla de kalkuli la proksimuman valoron de π kun naŭ ciferoj, uzante nombra bazo sexagesimal, kio samvaloras al alproksimiĝo de 16 decimalaj ciferoj: 2π = 6,2831853071795865.

Eŭropa renaskiĝo

John Wallis (1616–1703).

Leonhard Euler (1707–1783).

De la 12a jarcento, kun la uzo de ciferoj arábigas en la ŝtonoj, ĝi havigis tre la eblo de akiri pli bonajn ŝtonojn por π. La matematikisto Fibonacci, en lia «Praktiku Geometriae», ĝi amplifas la metodon de Arquímedes, havigante pli mallarĝa intertempo. Iuj matematikistoj de la 17a jarcento, kiel Viète, ili uzis plurangulojn de ĝis 393.216 flankoj por proksimigi kun bona precizeco al 3,141592653. En 1593 la flandra Adriaan iras Roomen (Adrianus Romanus) akiras precizecon de 16 decimalaj ciferoj uzante la metodo de Arquímedes.

Moderna epoko (antaŭ-computacional)

En 1610 la matematikisto Ludolph iras Ceulen kalkulis la 35 unuaj decimalaj de π. ĝi diras ke estis tiel fiera de ĉi tiu heroaĵo kiu lin ordonis gravuri en lia tombo-ŝtono. La libroj de germanaj matematiko dum multaj jaroj nomis al π kiel numero ludolfiano. En 1665 Isaac Newton disvolvas la serion^[11]

$\arcsin {x} = x + \frac {1}{2} \cdot \frac {x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2\cdot 4} \cdot \frac {x^5}{5} + \frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6} \cdot \frac{x^7}{7} + \ldots$

Kun $x = \frac {1} {2}$ akiris serion por $\arcsin(\frac {1} {2}) = \frac {\pi} {6}$ .

La angla matematikisto John Wallis disvolvis en 1655 la konata serio Produkto de Wallis:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2}$ .

En 1699, al sugesto de Edmond Halley, la angla matematikisto Abraham Sharp (1651-1742) kalkulis pi kun precizeco de 71 decimalaj ciferoj uzante la serio de Gregory:

$\arctan (x) = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \ldots$

Kun $x = \frac {1} {\sqrt{3}}$ akiras serion por $\arctan (\frac {1} {\sqrt{3}}) = \frac {\pi} {6}$ . Por atingi la precizecon akirita, ĝi devis uzi ĉirkaŭ tricent terminoj en la serio. En 1720 la franco Thomas de Lagny uzis la saman metodon por akiri alproksimiĝon de 127 ciferoj (nur la unuaj 112 estis ĝentilaj).

Leibniz kalkulis de formo pli komplikita en 1682 la sekva matematika serio kiu portu lia nomo:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4}$ .

Estis en la jaro 1706 kiam la galés William Jones asertis: «3,14159 andc. = π». Leonhard Euler adoptis la konatan simbolon en 1737, kiu igis la kutiman notacion ĝis niaj tagoj.

La japana matematikisto Takebe komencis kalkuli la numeron π en la jaro 1722, kun la sama metodo elmontrita de Arquímedes, kaj estis pligrandigante la numero de flankoj por pluranguloj ĉirkaŭlimigitaj kaj enskribitaj ĝis alveni al 1.024 flankoj. Ĉi tiu ega laboro atingis ke ĝi determinis π kun 41 decimalaj.

En 1789 la matematikisto de origino esloveno Jurij Fruktodona ebenaĵo, per la formulo de John Machin, malkovrita en 1706, ĝi iris la unua en elŝeligi la unuaj 140 decimalaj de π, de kiuj 126 estis ĝentilaj; ĉi tiu rekordo subtenis dum 52 jaroj, ĝis en 1841 William Rutherford kalkulis 208 decimalaj, de kiuj 152 estis ĝentilaj.

La matematika ŝatanto de angla origino William Shanks dediĉis proksime de 20 jaroj al kalkuli π kaj ĝi alvenis al akiri 707 decimalaj en 1873. En la jaro 1944, D. F. Ferguson trovis eraron en la decimala pozicio 528 de la serio de Shanks, de la kiu ĉiuj postaj ciferoj estis eraraj. En 1947, Ferguson recalculó π kun 808 decimalaj kun la helpo de mekanika kalkulilo.

Iuj historiaj alproksimiĝoj de valoroj de π, antaŭaj al la epoko computacional, ili montras en la sekva tabulo:

Jaro	Matematikisto aŭ dokumento	Kulturo	Alproksimiĝo	Eraro (En partoj por miliono)
1900 a.K..	Papiruso de Ahmes	Egiptino	2⁸/3⁴ 3,1605	6016 Ppm
1600 a.K..	Tablilla de Susa	Babilónica	25/8 = 3,125	5282 Ppm
600 a.K..	La Biblio (1a Reĝoj, 7,23)	Fazeolo	3	45070 Ppm
500 a.K..	Bandhayana	Barato	3,09	16422 Ppm
250 a.K..	Arquímedes de Siracusa	Grekino	Inter 3 10/71 kaj 3 1/7 Ĝi uzis 211875/67441 3,14163	<402 Ppm 13,45 Ppm
150	Klaŭdo Ptolomeo	Greco-egipta	377/120 = 3,141666...	23,56 Ppm
263	Liu Hui	Ĉinio	3,14159	0,84 Ppm
263	Wang Fano	Ĉinio	157/50 = 3,14	507 Ppm
300	Chang Hong	Ĉinio	10^1/2 3,1623	6584 Ppm
500	Zu Chongzhi	Ĉinio	Inter 3,1415926 kaj 3,1415929 uzis 355/113 3,1415929	<0,078 Ppm 0,085 ppm
500	Aryabhata	Barato	3,1416	2,34 Ppm
600	Brahmagupta	Barato	10^1/2 3,1623	6584 Ppm
800	Al la-Juarismi	Perso	3,1416	2,34 Ppm
1220	Fibonacci	Italino	3,141818	72,73 Ppm
1400	Madhava	Barato	3,14159265359	0,085 Ppm
1424	Al la-Kashi	Perso	2π = 6,2831853071795865	0,1 Ppm

Moderna epoko (computacional)

De la dezajno de la unua komputilo komencis disvolvi programojn por la ŝtono de la numero π kun la plej granda kvanto de ebla ciferoj. De ĉi tiu formo, en 1949 ENIAC estis kapabla de rompi ĉiujn rekordojn, akirante 2.037 decimalaj ciferoj en 70 horoj. Iom post iom estis ŝprucante komputiloj kiuj batis rekordojn kaj, de ĉi tiu formo, malmultaj jaroj poste (1954) NORAC alvenis al 3.092 ciferoj. Dum preskaŭ la tuta jardeko de la jaroj 1960 la IBM estis batante rekordoj, ĝis IBM 7030 povis alveni en 1966 al 250.000 decimalaj ciferoj (en 8 h kaj 23 min). Dum ĉi tiu epoko provis la novajn komputilojn kun algoritmoj por la generacio de serioj de numeroj procedentes de π.

En la jardeko de 2000, la komputiloj estas kapablaj de akiri numerojn kiuj posedas inmensa kvanto de decimalaj. En 2009 trovis pli ol du bilionoj kaj duona de decimalaj de pi per la uzo de supercomputadora T2K Tsukuba System, formita de 640 komputiloj de alta rendimento, kiu kune atingas rapidojn de procesorado de 95 teraflops. Ili akiris lin en 73 horoj kaj 36 minutoj.

Jaro	Descubridor	Komputilo uzita	Numero de decimalaj ciferoj
1949	G.W. Reitwiesner kaj aliaj^[12]	ENIAC	2.037
1954		NORAC	3.092
1959	Guilloud	IBM 704	16.167
1967		CDC 6600	500.000
1973	Guillord kaj Bouyer^[12]	CDC 7600	1.001.250
1981	Miyoshi kaj Kanada^[12]	FACOM M-200	2.000.036
1982	Guilloud		2.000.050
1986	Bailey	CRAY-2	29.360.111
1986	Kanada kaj Tamura^[12]	HITAC S-810/20	67.108.839
1987	Kanada, Tamura, Kobo kaj aliaj	NEC SX-2	134.217.700
1988	Kanada kaj Tamura	Hitachi S-820	201.326.000
1989	Fratoj Chudnovsky	CRAY-2 kaj IBM-3090/VF	480.000.000
1989	Fratoj Chudnovsky	IBM 3090	1.011.196.691
1991	Fratoj Chudnovsky		2.260.000.000
1994	Fratoj Chudnovsky		4.044.000.000
1995	Kanada kaj Takahashi	HITAC S-3800/480	6.442.450.000
1997	Kanada kaj Takahashi	Hitachi S-ro2201	51.539.600.000
1999	Kanada kaj Takahashi	Hitachi S-ro8000	68.719.470.000
1999	Kanada kaj Takahashi	Hitachi S-ro8000	206.158.430.000
2002	Kanada kaj aliaj^[12] [3]	Hitachi S-ro8000/MP	1.241.100.000.000
2004		Hitachi	1.351.100.000.000
2009	Daisuke Takahashi^[13]	T2K Tsukuba System	2.576.980.370.000
2009	Fabrice Bellard^[14]	Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB	2.699.999.990.000

En la epoko computacional de la ŝtono de π la ciferoj pafis, ne nur pro la potenco de ŝtono kiun ĉi tiuj maŝinoj estas kapablaj de generi, fato ankaŭ por la prestiĝo kiun vi kunportu por la constructor de la maŝino kiam lia marko aperas en la lerta de la rekordoj.

Matematikaj karakterizaĵoj

ĝi montras la rilaton inter kvadrato de flanko $r$ kaj rondo de radioaparato $r$ . La areo de la rondo estas $\pi r^2$ .

Difinoj

Euclides estis la unua en pruvi ke la rilato inter circunferencia kaj lia diametro estas konstanta kvanto.^[15] Tamen, ekzistas diversaj difinoj de la numero $\pi$ , sed la plej komuna estas:

$\pi$ Estas la rilato inter la longitudo de circunferencia kaj lia diametro.

Sekve, ankaŭ $\pi$ estas:

La areo de unuiga rondo (de radioaparato unueco de la ebena euclídeo).
La plej malgranda pozitiva reala $x$ numero tia kiu $\mathrm{sen}(x) = 0$ .

Ĝi ankaŭ eblas difini analíticamente $\pi$ ; du difinoj estas eblaj:

Lin ekvacio sur la kompleksaj numeroj $e^{ix}+1=0$ akceptas multegon de pozitivaj realaj solvoj, la plej malgranda de kiuj estas ĝuste $\pi$ .
La ekvacio diferencial $S''(x)+S(x)=0$ kun la kondiĉoj de konturo $S(0)=0, S'(0)=1$ por kiu ekzistas sola solvo, garantiita de la teoremo de Picard-Lindelöf, estas funkcio analítica kies pozitiva radiko pli malgranda estas ĝuste $\pi$ .

Neracia numero kaj trascendente

Ĉefa artikolo: Provo kiu π estas neracia

ĝi klopodas neracian numeron, kion vi signifu ke ne povas esprimi kiel frakcio de du tutaj numeroj, kiel ĝi pruvis Johann Heinrich Lambert en 1761 (aŭ 1767). Ankaŭ estas numero trascendente, tio estas, kiu ne estas la radiko de neniu polinomo de tutaj koeficientoj. En la 19a jarcento la germana matematikisto Ferdinand Lindemann pruvis ĉi tiun fakton, fermante kun tio definitive la permanenta kaj ardua esploro alproksimigas de la problemo de la cuadratura de la rondo indikante ke ne havas solvon.

Ĝi ankaŭ scias ke π ankaŭ ne estas numero de Liouville (Mahler,^[16] 1953), tio estas, ne nur estas trascendental sed ĝi ne eblas proksimigita de sekvenco de raciaj "rapide convergente" (Stoneham 1970^{[citas postulita]}).

La unuaj kvindek decimalaj ciferoj

Malgraŭ klopodi neracian numeron daŭre estas elŝeligita la maksimuma ebla kvanto de decimalaj. La kvindek unuaj estas:

$\pi$ ≈ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Por vidi plej grandajn sekvencojn de ĉi tiu numero konsultu la referencojn, tiel kiel La unuaj cent mil decimalaj ciferoj Al00796 kaj OEIS.

En scienco kaj inĝenierio, ĉi tiu konstanta povas uzi , la plimulto de la fojoj, kun precizeco de nur dekduo de decimalaj. Kun kvindek decimalaj povus priskribi kun precizeco la curvatura de la Universo kun pli malgranda eraro kiu la grandeco de protono.^[17]

Formuloj kiuj enhavas la numeron π

Formulo de Euler.

En geometrio

Longitudo de la circunferencia de radioaparato r: C = 2 π r

Areoj de konusaj sekcioj:

Areo de la rondo de radioaparato r: Al = π r²
Areo de la elipso kun semiejes al kaj b: Al = π ab

Areoj de korpoj de revolucio:

Areo de la cilindro: 2 π r (r+h)
Areo de la konuso: π r² + π r g
Areo de la sfero: 4 π r²

Volumoj de korpoj de revolucio:

Volumo de la sfero de radioaparato r: 5a = (4/3) π r³
Volumo de rekta cilindro de radioaparato r kaj alteco h: 5a = π r² h
Volumo de rekta konuso de radioaparato r kaj alteco h: 5a = π r² h / 3

Ekvacioj esprimitaj en radianoj:

Anguloj: 180 gradoj estas ekvivalentaj al π radianoj.

En probablo

La probablo kiu du tutaj pozitivaj elektitaj al la hazardo estas unuaj inter oni estas: 6/π²
Se ili elektas al la hazardo du plej malgrandaj pozitivaj numeroj kiu 1, la probablo kiu kune kun la numero 1 eblas la flankojn de triangulo obtusángulo estas: (π-2)/4
La duona numero de formoj de skribi tuta pozitiva kiel ĝi adicias de du perfektaj kvadratoj estas π/4 (la ordo estas grava).
Nadlo de Buffon: se ni ĵetas al la hazardo nadlo de longitudo L sur surfaco en kiu desegnis paralelajn liniojn disigitaj distanco D, la probablo kiun la nadlo tranĉu al linio estas: Dπ/2L

En matematika analizo

Formulo de Leibniz:
$\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$
Produkto de Wallis:
$\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$
Euler:
$\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$
Identeco de Euler
$e^{\pi i} + 1 = 0\;$
Areo sub la sonorilo de Gaŭso:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
Formulo de Stirling:
$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
Problemo de Basilea, solvita de Euler en 1735:
$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$
Euler:
$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$
Krome, π ĝi havas plurajn reprezentojn kiel kontinuaj frakcioj:
$\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{\ldots}{\ddots}}}}}}}$
Ankaŭ kiel disvolviĝo en serioj:
$\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}$
Formoj de proksimuma reprezento al $\pi$ ^[18]
$\frac {355}{113} = 3.141592....$
$\sqrt[29] {261424513284461} \approx \pi$
Metodo de Montecarlo
En rondo de radioaparato r enskribita en kvadrato de flanko 2R (2 fojoj la radioaparato), la areo de la rondo estas πr² kaj la de la kvadrato (2r)². De ĉi tio deduktas ke la rilato de areo inter la kvadrato kaj la rondo de π/4.^[19]

Cómputos de π

Ĉefa kategorio: Algoritmoj de ŝtono de Pi

Pi kaj la unuaj numeroj

Uzante la inversa de la produkto de Euler por la funkcio zo de Riemann kaj por la valoro de la egala argumento al 2 akiras:

$\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\to\infty \atop p_n \in \mathbf{P}}\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\left (1-\frac{1}{5^2}\right )\left (1-\frac{1}{7^2}\right )\left (1-\frac{1}{11^2}\right )...\left (1-\frac{1}{p_{n}^2}\right )=\frac{6}{\pi^2}$

Kie p_n estas la n-ésimo unua numero. Euler estis la unua en trovi ĉi tiun valoron de la funkcio zo (uzante la esprimo de sumatoria) kaj solvante tiel la fama Problemo de Basilea.

Formulo de Machin

Ĝusta formo de povi kalkuli π en terminoj de tangentes inversaj de unuigaj frakcioj estas la formulo de Machin, malkovrita en 1706:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

Multaj matematikistoj uzis ĉi tiun formulon por elŝeligi ciferojn super la centena (ekzemple, la jam citita Shanks, kiu kun ĉi tiu formulo kalkulis 707 decimalaj pozicioj de π).

Metodoj eficientes

La unuaj milionoj de ciferoj de π kaj 1/π povas konsulti en Projekto Gutenberg (vidu eksterajn ligojn). Unu el la records pli freŝaj estis atingita en decembro de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universitato de Tokio, fiksante la numero pi kun 1.241.100.000.000 Ciferoj; ili bezonis ĉirkaŭ 602 horojn kun superordenador de 64 nodoj Hitachi S-ro8000 kun memoro de kapabla terabajto de efektivigi 2 bilionoj de operacioj por dua, pli ol ses fojoj la record antaŭa (206 mil milionoj de ciferoj). Por tio uzis la sekvajn formulojn modifitaj de Machin:

K. Takano (1982).

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896).

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

Ĉi tiuj alproksimiĝoj havigis tiel egan kvanton de ciferoj kiujn ĝi povas diri kiu jam ne estas utila fato por kontroli la funkciadon de la superordenadores. La limigo ne estas en la komputado fato en la necesa memoro por stoki ĉenon kun tiel granda kvanto de numeroj.

Geometriaj alproksimiĝoj al π

Ĝi eblas akiri alproksimiĝon al la valoro de π geometrie. Fakte, jam la grekoj provis akiri sen sukceso ĝusta solvo al la problemo de la valoro de π per la posteno de regulo kaj cirkelo. La greka problemo konita kiel cuadratura de la rondo aŭ, kion estas lin sama, akiri kvadraton de egala areo al la areo de rondo ĉiu, ĝi portas implicita la ŝtono de la ĝusta valoro de π.

Pruvita fojo kiu estis neebla la obtención de π per la uzo de regulo kaj cirkelo, ili disvolvis plurajn proksimumajn metodojn. Du de la proksimumaj solvoj pli elegantaj estas la devitaj al Kochanski (uzante regulo kaj cirkelo) kaj la de Mascheroni (uzante nur cirkelo).

Metodo de Kochanski

Metodo de Kochanski.

ĝi desegnas circunferencia de radioaparato R. ĝi enskribas la egallateran triangulon OEG. ĝi strekas paralelan rekton al la segmento EG kiu pasas por Al, daŭrigante ŝin ĝis kortego al la segmento OE, akirante D. De la punkto D kaj sur tiu segmento transportas 3 fojoj la radioaparato de la circunferencia kaj ĝi akiras la punkton C. La segmento BC estas proksimume la duono de la longitudo de la circunferencia.

Pruvo (supozante R = 1)

$BC^2=AB^2+(3-DA)^2 \,\!$

$OF= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} \rightarrow \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}/2} \rightarrow DA=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Anstataŭante en la unua formulo:

$BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \rightarrow BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3,141533...$

Metodo de Mascheroni

Metodo de Mascheroni.

Evoluinta metodo por Laŭrenco Mascheroni: ĝi desegnas circunferencia de radioaparato R kaj ĝi enskribas hexágono regula. La punkto D estas la intersekco de du arkoj de circunferencia: BD kun centro en Al', kaj KD kun centro en Al. Ni akiras la punkton Kaj kiel intersekco de la arko DE, kun centro en B, kaj la circunferencia. La segmento AE estas kvara de la longitudo de la circunferencia, proksimume.

Pruvo (supozante R = 1)

$AD=AC=\sqrt{3}$ $OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$

$BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}$ $BE=BD=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}$

Por la teoremo de Ptolomeo, en la cuadrilátero ABEB'

$BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'$

$2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3,142399...$

Uzo en matematikoj kaj scienco

π Estas ubicuo en matematikoj; ĝi aperas inkluzive en lokoj kiuj malhavas de rekta rilato kun la rondoj de la geometrio euclídea.^[20]

Geometrio kaj trigonometría

Vidu ankaŭ: Areo de rondo

Por ajna rondo de radioaparato r kaj diametro d = 2r, la longitudo de la circunferencia estas πd kaj la areo de la rondo estas πr². Krome, π ĝi aperas en formuloj por areoj kaj volumoj de multaj aliaj geometriaj figuroj rilatigitaj kun la circunferencia, kiel elipsoj, sferoj, konusoj, kaj toroides.^[21] π Aperas en integraloj difinita ke ili priskribas la circunferencia, areo aŭ volumo de figuroj generitaj de circunferencias kaj rondoj. En la baza kazo, la duono de la areo de unuiga rondo estas:^[22]

$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$

Kaj la duono de la longitudo de la circunferencia unuiga estas:^[23]

$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi$

ĝi povas integri formojn pli kompleksaj kiel solidaj de revolucio.^[24]

De la difino de la funkcioj trigonométricas de la unuiga rondo alvenas ke la sino kaj la kosinuso havas periodon 2π. Kio signifas, por ĉiu x kaj tutaj n, sen(x) = sen(x + 2πn) kaj cos(x) = cos(x + 2πn). Ĉar sen(0) = 0, sen(2πn) = 0 por ĉiuj tutaj n. Krome, la angulo 180° estas egala al π radianoj. En aliaj vortoj 1° = (π/180) radianoj.

En modernaj matematikoj, π estas ofte difinita uzante funkcioj trigonométricas, ekzemple kiel la plej malgranda tuta pozitiva x por kiu senx = 0, por eviti nenecesajn dependecojn de la sutilezas de la geometrio euclidiana kaj la integriĝo. Ekvivalente, π ĝi eblas difinita uzante funkcioj trigonométricas inversaj, ekzemple kiel π = 2 arccos(0) aŭ π = 4 arctan(1). Ekspansiiĝi funkciojn trigonométricas inversaj kiel serioj de potencoj estas la plej facila maniero de akiri senfinajn seriojn por π.

Supera analizo kaj teorio de numeroj

La ofta apero de π en kompleksa analizo povas esti rilatigita kun la konduto de la funkcio exponencial de kompleksa variablo, priskribita de la formulo de Euler

$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!$

Kie i estas la unueco imaginaria kiu kontentigas la ekvacion $i^2= -1$ kaj kaj ≈ 2.71828 estas la numero de Euler. Ĉi tiu formulo implicas ke la potencoj imaginarias de kaj ili priskribas rotaciojn unuiga rondo en la ebena kompleksa; ĉi tiuj rotacioj havas periodon de 360º = 2π. En aparta, la rotacio de 180º φ = π rezultas en la konsiderinda identeco de Euler

$e^{i \pi} = -1.\!$

Estas n malsamaj radikoj n-ésimas de la unueco

$e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).$

La integralo de Gaŭso

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.$

Konsekvenco estas kiu la rezulto de la divido inter la funkcio gamma de semientero (la duono de nepara numero) kaj √π estas racia numero.

Fiziko

Kvankam ne estas konstanta fizika, π ĝi aperas rutinariamente en ekvacioj kiuj priskribas la fundamentajn komencojn de la Universo, Devita en granda parto al lia rilato kun la naturo de la rondo kaj, responde, kun la sistemo de koordinatoj esféricas. Uzante unuecoj kiel la unuecoj de Planck povas forigi kelkfoje al π de la formuloj.

La konstanta cosmológica:^[25]
$\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho$
Komenco de necerteco de Heisenberg:^[26]
$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
Ekvacio de la kampo de Einstein de la ĝenerala relativeco:^[27]
$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$
Leĝo de Coulomb por la elektra forto:^[28]
$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$
Permeabilidad magneta de la malplena:^[29]
$\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,$
Tria leĝo de Kepler:
$\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}$

Probablo kaj estadística

En probablo kaj estadística, estas multaj dissendoj kies formuloj enhavas al π, inkludante:

La funkcio de denseco de probablo por la normala dissendo kun mezumo μ kaj devio normo σ, kiu dependas de la integralo gaussiana:^[30]

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}$

La funkcio de denseco de probablo por la dissendo de Cauchy (normo):^[31]

$f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.$

Rimarku kiu por ĉiuj funkcioj de denseco de probablo plenumas ke $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ , tiam la antaŭaj formuloj povas uzi por produkti aliajn integrajn formulojn por π.^[32]

Reprezento de la eksperimento en la modelo de la "nadlo de Buffon", lancoj du nadloj (al, b) ambaŭ kun longitudo l. En la desegno la nadlo al transiras la linion dum kiu la nadlo b ne.

La problemo de la nadlo de Buffon estas nomita en okazoj kiel alproksimiĝo empírica de π. ĝi klopodas ĵeti nadlon de longitudo l ree sur surfaco en kiu strekis paralelajn rektojn malproksimigitaj inter oni, en t unuecoj, unuforme (kun t > l tiel ke la nadlo ne povas tuŝi du rektojn). Se la nadlo ĵetas n fojoj kaj x de tiuj falas transirante linio, ĝi tiam povas proksimigi π uzante la Metodo de Montecarlo, ĵetante ŝin granda kvanto de fojoj:^[33]^[34]^[35]^[36]

$\pi \approx \frac{2nl}{xt}.$

Kvankam ĉi tiu rezulto estas matematike senmanka, ĝi ne povas uzi pli ol por determini kelkan ciferojn de π experimentalmente. Por atingi nur tri ĝentilaj ciferoj (inkludante la "3" komenca) postulas de milionoj da ĵetoj,^[33] kaj la numero de ĵetoj kreskas exponencialmente kun la numero de ciferoj deziritaj. Krome, ajna eraro en la mezuro de la longitudoj l kaj t transfiere rekte kiel eraro en la alproksimiĝo de π. Ekzemple, diferenco de simpla atomo en nadlo de 10 centimetroj povus kaŭzi erarojn en la naŭa cifero de la rezulto. En la praktiko, necertecoj en la determino de se la nadlo fakte transiras linion kiu ŝajnas esti nur tuŝante portas al ŝi la limon de atingebla precizeco al multe malpli de 9 ciferoj.

Vidindaĵoj

Reguloj mnemotécnicas

Estas Tre ofte Uzi poemojn kiel ĝi strekas mnemotécnica por povi memori la unuajn ciferojn de la numero pi.

Formo de enmemorigi la 20 unuaj ciferoj estas kun ĉi tiu poemo, nur oni devas rakonti la literojn de ĉiu vorto:

Estas kaj estos al ĉiuj definible
mia nomo devas doni al vi
kvocienton diametral ĉiam inmedible
estas de la rondaj aros

Alia versio, kiu permesas numeri la 27 unuaj ciferoj, estas la sekva:
"Kio? Kaj ĝi π kiel kunvenas multegon de ciferoj? Devas esti periodoj ripetitaj! Mi ankaŭ ne komprenas ke de konata malmulta kvanto asertas iun tiel, tiel aŭdaca!" Rimarku kiu por la dua 1 (3,14159...) uzas la grekan literon π.
Tria poemo:

Tuj Amos sole, deprimita
neniam scios kiu sonĝas trovi vin,
malfacila perimetro, kaŝita
ke en miaj neŭronoj batas...
Malluma la vojo por vidi
la sekretojn kiuj vi kaŝitaj
trovi ilin povos?...

Alia regulo, kiu permesas memori la unuaj 32 ciferoj:
"Estas π, moto kaj sprita kialo de saĝa viro, kiu grandvalora serio taksante, ĝi formulis magistral. Por lia unuopa leĝo, bone mezurita la granda orbe fine reduktita estis al la kutima ordinara sistemo."Tie ankaŭ uzas la grekan literon π por la unua 1.

Ekzistas ampleksaj fabeloj kiu estas kapablaj de fari enmemorigi grandan kvanton de ciferoj, tia estas la titolita "Cadaeic Cadenza", skribita en 1996 por la matematikisto Michael Keith kaj kiu proponas la eblon de enmemorigi la unuaj 3.834 ciferoj. De ĉi tiu formo, prenante "Al" kiel 1, "B" kiel 2, "C" kiel 3, ktp., La nomo de la historio eltiras la ciferojn de pi, kiel "Cadaeic" estas la unua vorto de 7 ciferoj de pi:

C al d al kaj i
c 3.1 4 1 5 9 3

Estas de reliefigi ke en ĉiu lingvo ekzistas malsamaj reguloj mnemotécnicas ( konsilas viziti ĉiu Vikipedio por malkovri la arton uzita en ĉiu lingvo).

Apero en rimedoj

En la jaro 1998 aperas filmon de la direktoro Darren Aronofsky nomita Pi sur matematikisto kiu kreas ke la mondo reprezentas por numeroj.
Alfred Hitchcock en lia filmo Kurteno ŝirita faras aperi la simbolon π kiel organizo de spionado.
En La Filmo The Net, ĝi Aperas en la malsupera parto rajto de pagina de koncertoj kaj muziko, de nomita programo The Mozart Ghost, Ŝajne estas nur ornamo, sed kiam premas CRTL+ALT+Click en π, ĝi Konsentas la interface de datumoj de la Gardisto de la Pordo, Programo de la Pretorianos, kiu pedia Uzanto kaj Password.
En la serio de desegnoj The Simpsons, en la epizodo "Bye Bye Nerdie", la Professor Frink krias, al voĉo en kolo, kiu "π estas egala al tri!", Por altiri la atenton de aŭskultantaro formita de scienculoj. Kiam ĉiuj donas rondveturon por rigardi ĝin, ĝi petas ekskuzojn por esti vidita devigita al simila sakrilegio.
En la serio Futurama aperas malsamajn referencojn al π, tiaj kiel 'oleo π en 1', kaj 'ĝi aĉetas en πkea'.
La romano Kontakto de Carl Sagan —sur kiu poste filmó la filmo homónima— preno al π (kvankam ne en decimala bazo) kiel numero kiu kaŝas la saman esencon de la universo.

Interesaj datumoj

"Etaĝo-Pi", mozaiko en la eniro de la konstruaĵo de la matematikoj en VIA Berlino.

Arkivo:Zoom-Mazda pi.Jpg

Detalo de la "Mazda Pi", ili aldonis 27 decimalaj ciferoj de π al ĉi tiu aŭto.

Torto kun la numero pi.

Proksimuma konstruo por la cuadratura de la rondo, trovita de Ramanujan.

La tago 22an de julio (22/7) estas la tago dediĉita al la alproksimiĝo de π.
La 14an de marto (3/14 En formato de dato de Usono) markas ankaŭ kiel la tago pi en kiu la fanoj de ĉi tiu numero lin okazigas kun malsamaj agadoj. Kurioze estas la naskiĝtago de Einstein.
355/113 (3.1415929) mencias kelkfoje kiel simulación cuasi-perfekta!
La uzantoj de la buscador Al9.Com kiu elektas lia tendencas virtuala kiel amazon.Com proponas rabatojn de (π/2)% en liaj aĉetoj.
John Squire (de la bando The Stone Roses) mencias π en skribita kanto por lia dua bando The Seahorses nomita "Something Tells Min". La kanto finas kun litero kiel: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
La unua miliono de ciferoj de π kaj lia inversa 1/π povas konsulti en la Projekto Gutenberg aŭ en ĉi tiu ligo.
La numeración de la versioj de la programo de traktado de teksto TeX de Donald Knuth realigas laŭ la ciferoj de π. La versio de la jaro 2002 etiquetó kun 3.141592
ĝi uzas ĉi tiun numeron en la serio de signaloj senditaj de la tero kun la celo de esti identigitaj de inteligenta civilizacio eksterterano.
La probablo kiu du tutaj pozitivaj elektitaj al la hazardo estas unuaj inter se estas $6/\pi^2$
Ekzistas programoj en interreto kiun serĉas via numero de telefono en la 50.000.000 Unuaj ciferoj de π
En iuj lingvoj de programado povas elŝeligi tantos ciferoj kiel ĝi deziras kun simple uzi esprimojn kiel: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
En la jaro 2002 la japano Akira Haraguchi rompis la record monda recitante dum 13 horoj 83.431 ciferoj de la numero pi sen halti, dublante la antaŭa record en posedo de la ankaŭ japana Hiroyuki Goto. La 4an de oktobro 2006, Al la 1:30 de la mateniĝo, kaj post 16 horoj kaj duona, Haraguchi denove rompis lia propra record recitante 100.000 ciferoj de la numero pi, realigante halto ĉiu du horoj de 10 minutoj por preni aeron.
La maksimuma numero de ciferoj de π necesa por serĉi ajnan sekvencon tage-monato-jaro kun kvar ciferoj en la decimala ekspansio de pi estas 60.872.
Ekzistas kanto de Kate Bush nomita "Pi" en kiu recitas pli ol dudek decimalaj ciferoj de la numero.
En Argentino, la telefona numero móvil por kriz-okazoj en stacidomoj de trajnoj kaj subteraj estas ∗31416.^[37]
La ĉefa valoro de la esprimo $i^i$ estas reala numero kaj estas donita de^[38] $i^i=\left(e^{i\pi /2}\right)^i=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0.207879...$
En la paĝo retejo thinkgeek.Com povas aĉeti ĉemizojn kaj akcesoraj kun π. En la ligo povas vidi ĉemizon en kiu konstruas la literon π kun liaj unuaj 4493 digitos.^[39]^[40]
Ekzistas veturilo Mazda 3 modifita, al la kiu oni aldonis lin 27 ciferoj de π, post la 3.^[41]
Srinivasa Ramanujan eldonis proksimuman solvon, kun regulo kaj cirkelo, al la cuadratura de la rondo en 1913 en kiu akiris proksimume egalan segmenton al $r \sqrt{\pi}$ :^[42]

$\mbox{segmento} =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}\approx r\sqrt{\pi}$

Tagoj de Alproksimiĝo al Pi

Ĉefa artikolo: Tago Pi

Laŭ determinitaj coincidencias nombraj, la Tagoj de Alproksimiĝo al Pi estas:

Demandoj malfermitaj troas π

Ĉiu de la decimalaj ciferoj 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 kaj 9, havas senfinan aperon en la decimalaj de π?
La nomita demando de Brouwer: en la decimala ekspansio de π, ekzistas iu pozicio kie ekzistas gamo de mil sinsekvaj nuloj?
Estas π simple normala en bazo 10? Tio estas, havas ĉiun de la dek ciferoj de la decimala sistemo la sama probablo de apero en decimala ekspansio?
Ĝi ne scias se π+kaj, π/kaj , ln(π) estas neraciaj. ĝi scias ke ne estas radikoj de polinomoj de grado pli malalta ol ok kaj kun tutaj koeficientoj de la ordo 10⁹.^[43]^[44]

Referencoj

↑ G L Cohen and Al G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historio Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
↑ New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
↑ Gaja Robins kaj vi Babilas Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publications, London , 1987, vidu “Squaring the Circle”, paĝoj 44 al 46.
↑ "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, Nov-Jorko ,(nova eldono de 1969).
↑ Petr Beckmann: Al History of Pi, eldonita por la unua fojo de The Golem Press, 1971, eldono konsultita de Barnes and Nobla Books, Nov-Jorko , 1993.
↑ ^Al ^{b c} Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, kaj Plouffle S, "The quest for Pi", The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57.
↑ Al. Volkov, Calculation of π in ancient Ĉinio: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historio Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
↑ ^Al ^{b c} Boyer Carl (1999). Historio de la Matematiko, Madrido : Alianco Eldonejo. 84-206-8186-5.
↑ Aŭ'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografio de Liu Hui» (en la angla), MacTutor History of Mathematics enarkivigas, Universitato de Saint Andrews, http://www-history.Mcs.St-andrews.Ac.Uk/Biographies/Liu_Hui.Html
↑ C. Jami, ĝi Kunigas histoire chinoise du 'nomo π', Enarkivigu for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
↑ Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. De C. Kaj D. Lischka). Berlin, Nov-Jorko: Springer, 2001, p. 188 Kaj 228. ISBN: 978-3-540-66572-4
↑ ^Al ^{b c} ^d ^kaj Bailey Davido H. , Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (2003). Disponebla en ĉi tiu ligo. Konsultita:22an de aprilo 2008
↑ Yomiuri Online, 17an de aŭgusto 2009, «円周率計算で世界一…筑波大がギネス申請» (en japano)
↑ Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en la angla)
↑ Euclides, Elementoj. 5a libro
↑ Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Esti. Al. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
↑ Bailey, Davido H., Borwein, Peter B., And Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
↑ Ekzistas aliaj dek du reprezentoj de π en http://functions.Wolfram.Com/Constants/Pi/10/
↑ Calculation of Pi Using the Montecarlo Method
↑ «Japano rompas la rekordon de enmemorigi ciferojn de pi». BBC News (2an de februaro 2005). Konsultita la 30-10-2007.
↑ «Areo kaj circunferencia de Rondo de Arquímedes». Penn State. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W (28an de januaro 2006). «Unit Disk Integra». MathWorld. Konsultita la 08-11-2007.
↑ «Area and Circumference of al Circle by Archimedes». Penn State. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W (4an de majo 2006). «Solid of Revolution». MathWorld. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF). University of Maryland. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Imamura, James M (2005-08-17). «Heisenberg Uncertainty Principle». University of Oregon. Konsultita la 09-11-2007.
↑ Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the Ĝenerala Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. Http://www.Alberteinstein.Info/gallery/gtext3.Html.
↑ Ŝipo, C. Rod (2005-06-28). «Coulomb's Constant». HyperPhysics. Kartvelio State University. Konsultita la 09-11-2007.
↑ «Magnetic constant». NIST (2006 CODATA recommended values). Konsultita la 09-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W. «Gaussian Integra» (en la angla). MathWorld. Wolfram Research. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W. «Cauchy Distribution» (en la angla). MathWorld. Wolfram Research. Konsultita la 08-11-2007.
↑ Weisstein, Eric W. «Probability Function» (en la angla). MathWorld. Wolfram Research. Konsultita la 08-11-2007.
↑ ^Al b Weisstein, Eric W. «Buffon's Needle Problem» (en la angla). MathWorld. Wolfram Research. Konsultita la 10-11-2007.
↑ Bogomolny, Alexander. «Math Surprises: An Example» (en la angla). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Konsultita la 28-10-2007.
↑ Ramaley, J. F. (Oct 1969). «[Erara esprimo: neatendita < telefonisto Buffon's Noodle Problem]». The American Mathematical Monthly 76 (8): pp. 916-918.
↑ «The Monto Carlo algorithm/method». Datastructures (2007-01-09). Konsultita la 07-11-2007.
↑ Plano de sekureco por la subte Artikolo de la ĉiutaga Klariono
↑ Unueco imaginaria en Mathworld [1] (en la angla). Konsulto: 21an de aprilo 2008
↑ Ĉemizoj de pi en gaussianos.Com. Konsultita: 23an de aprilo 2008.
↑ Paĝo de vendoj de ĉemizoj pi en thinkgeek.Com. Konsultita: 23an de aprilo 2008
↑ "Mazda Pi" en Gaussianos.Com. Konsultita: 23an de aprilo 2008
↑ Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle» (djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. Http://en.Wikisource.Org/wiki/Squaring_the_circle.
↑ Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, kaj and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988Al.
↑ Pi en Mathworld [2] (en la angla). Konsulto: 21an de aprilo 2008

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligoj

Wikimedia Commons gastigas plurmedian enhavon sur Numero π. Commons
Wikiquote gastigas famajn frazojn de aŭ sur Numero π. Wikiquote
Historio de la ŝtono de Pi kaj algoritmoj uzitaj.
Rodríguez de la Rivero, Roberto (2008) La numero Pi: de la Geometrio al la Nombra Ŝtono.
Historio de Pi, en astroseti.Org
Klubo de Amikoj de Pi
Por serĉi ajnan numeron inter la unuaj 200.000.000 De ciferoj de Pi
Programo por la ŝtono de π kaj de alia granda numero de konstantaj (en la angla)
Lerta kun la valoroj kalkulitaj kun aŭtoroj kaj valoroj (en la angla)
Dezajno de monero. La valoro de Pi

Ŝablono:ORDIGI:mi Numeras pi

Pcd:Pipnb:پائی

Akirita de "http://ks312095.Kimsufi.Com../../../../Articles/al/n/d/Andoro.Html"

Numero π

Numero π

numero π - Wikilingue - Encydia

Enhavo

La nomo π

Historio de la ŝtono de la valoro π

Malnova Egiptio

Mezopotamio

Bibliaj referencoj

Klasika antikva tempo

Matematika china

Matematika india

Islama matematiko

Eŭropa renaskiĝo

Moderna epoko (antaŭ-computacional)

Moderna epoko (computacional)

Matematikaj karakterizaĵoj

Difinoj

Neracia numero kaj trascendente

La unuaj kvindek decimalaj ciferoj

Formuloj kiuj enhavas la numeron π

En geometrio

En probablo

En matematika analizo

Cómputos de π

Pi kaj la unuaj numeroj

Formulo de Machin

Metodoj eficientes

Geometriaj alproksimiĝoj al π

Metodo de Kochanski

Metodo de Mascheroni

Uzo en matematikoj kaj scienco

Geometrio kaj trigonometría

Supera analizo kaj teorio de numeroj

Fiziko

Probablo kaj estadística

Vidindaĵoj

Reguloj mnemotécnicas

Apero en rimedoj

Interesaj datumoj

Tagoj de Alproksimiĝo al Pi

Demandoj malfermitaj troas π

Referencoj

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligoj

Enhavo